Series en espacios normados

Abstract

El presente trabajo tiene por objeto hacer un estudio general sobre las series en espacios normados y un análisis somero sobre algunos tipos particulares de series, como la serie de potencias que nos permite definir el concepto de función analítica. Las nociones de serie y convergencia de una serie, son similares a las conocidas del Análisis Real por ejemplo cuando el espacio en la cual se trabaja es R); sin embargo, las propiedades que daremos son en algunos casos más generales que las dadas en R, así en R los conceptos de serie absolutamente convergente y de serie conmutativamente convergente son equivalentes, no así en espacios normados cualesquiera. Cabe notar que algunas propiedades dadas para series en espacios normados son válidas inclusive para grupos topológicos conmutativos. La noción de convergencia (resp. divergencia) que es en realidad la de convergencia de una sucesión, es una propiedad topológica, por cuanto no depende de la norma del espacio. Considerando informalmente una serie como una suma infinita de elementos del espacio, las propiedades algebraicas de asociatividad y conmutatividad no son válidas en general para series convergentes en el sentido que, si nosotros cambiamos el orden de los elementos en la suma, la serie resultante puede no ser convergente. Para esto definiremos el concepto de serie conmutativamente convergente y mostraremos algunos teoremas con respecto a la asociatividad de los elementos de una serie. Con el concepto de serie absolutamente convergente podemos deducir algunos resultados, válidos en R, como el Principio de Comparación para series en espacios normados; notando que toda serie absolutamente convergente en un espacio de Banach es también convergente. En las dos últimas secciones del Capítulo 2 hacemos un estudio particular de las series de funciones y series de Potencias. De manera similar que en el Análisis Real el concepto de convergencia uniforme nos permite, bajo ciertas condiciones, decir cuando la función suma de una serie de funciones conserva las mismas propiedades (continuidad, diferenciabilidad) que tiene los elementos de la serie. La serie de Potencias es un caso particular de series de funciones en la cual sus términos son aplicaciones multilineales simétricas continuas que representan polinomios homogéneos continuos según el enfoque dado en el Capítulo 1, notando que en realidad es una generalización del caso real puesto que los polinomios en el caso real pueden ser definidos a partir de aplicaciones multilíneas les simétricas y continuas. Algunos resultados clásicos como el Teorema de Cauchy - Hadamard continúan siendo válidos para espacios normados. Finalmente, en el último Capítulo definiremos el concepto de función analítica, a partir de las series de potencias, generalizando algunos resultados conocidos del Análisis Complejo. Deseo expresar mi agradecimiento al Profesor César Carranza, director de esta Tesis, por su ayuda y guía en el presente trabado.