Solución de la ecuación matricial de Liapunov para sistemas lineales autónomos: aplicaciones

Abstract

Uno de los más importantes hechos en la teoría de estabilidad de sistemas dinámicos fue la publicación en 1892 de las famosas memorias de Alexander Liapunov en una revista rusa. Traducidas al francés en 1907 y reimpresas en América en 1947, esta teoría es aun relativamente desconocida e inapropiada en el mundo occidental, debiéndose principalmente esto a que existen muy pocas publicaciones al respecto en lenguajes occidentales y las muy poco existentes están escritas desde un punto de vista matemático muy abstracto. Todo esto, sumado con que las únicas referencias que se encuentran en nuestro medio son contadas revistas en las cuales se encuentran artículos sobre la aplicación y profundización de la teoría de Liapunov sin entrar en mayores detalles respecto a los principios básicos, ha contribuido a que el método de Liapunov sea considerado por el estudiante como una herramienta sofisticada y por tanto e􀀂 vite no sólo hacer uso de ella sino también a estudiarlo más profundamente. El presente trabajo, basado en diferentes artículos de re­vistas especializadas en la Teoría de Control y elaborados en forma coherente, describe métodos de solución de la Ecuación matricial de Liapunov: A 'P + PA = -Q La solución del conjunto de n (n + 1) / 2 ecuaciones simultáneas representadas por (2), conduce directamente, para sistemas lineales estacionarios, a encontrar expresiones explícitas para una función de Liapunov. Para sistemas lineales no estacionarios o sistemas no lineales, no existe hasta el presente ningún método que permita encontrar expresiones explícitas para una función de Liapunov. Como parte 2da. del trabajo, presento algunas aplicaciones de las funciones de Liapunov obtenidas al solucionar la ecuación (2). Por su relación con la Teoría de Control convencional, estudiada a nivel universitario, espero que estas aplicaciones constituyan una invitación a un estudio m􀁀s profundo de la Teoría de Liapunov por parte del lector; asimismo, la simplicidad del sistema tratado, así como la teoría desarrolla da y procedimientos seguidos para la solución de la Ecuación Matricial de Liapunov, deseo sean fácilmente accesibles al estudiante novicio en el estudio de la Teoría de Liapunov. Finalmente, deseo expresar mi agradecimiento a todas aquellas personas, que en forma desinteresada; contribuyeron a la realización de este trabajo. En especial deseo agradecer a mi Profesor y Asesor Ingeniero Jaime Luyo K. y a las señoritas Blanca Salas y Olga Campos que mecanografiaron este trabajo.