Transporte óptimo e inversión de ondas

Abstract

En este trabajo desarrollamos las herramientas necesarias para poder aproximar una onda real por una teórica, proveniente de la solución de la ecuación de la onda. Ésto lo conseguimos mediante el uso de funciones de discrepancia, que nos ayudan a comparar las ondas reales con las teóricas. Concretamente, si dv representa a la onda teórica, generada por un campo de velocidades v, y d0 es la onda real que queremos aproximar, nuestro objetivo es minimizar una función del tipo FD(v) = D(dv, d0), donde D es una función de discrepancia. Parte fundamental del trabajo es entender que incluso cuando D es una función suficientemente suave, el proceso de minimización de FD, en la práctica, no es simple. Por la regla de la cadena, el cálculo del gradiente de F depende del gradiente ∇vdv. Sin embargo, en términos prácticos este último gradiente no es simple de calcular. Entonces, para cumplir nuestro objetivo es fundamental calcular ∇vF sin el conocimiento de ∇vdv. Esto lo hacemos bajo ciertas condiciones, suficientemente generales, que nos permiten trabajar incluso con discrepancias que no provienen de distancias en Rm. En particular, dentro de las aplicaciones que realizamos está el cálculo del gradiente de una función objetivo basada en una función de discrepancia que hace uso del transporte óptimo desbalanceado, en adelante UOT, por sus siglas en inglés.

In this work, we develop the necessary tools to approximate a real wave by a theoretic one, that comes from the solution of the wave equation. We achieve this through the use of discrepancy functions, that help us to compare the two kinds of waves. More precisely, if dv represents the theoretic wave, generated by a velocity field v, and d0 is the real wave, that we want to approximate, our goal is to minimize an objective function like FD(v) = D(dv, d0), where D is a discrepancy function. A fundamental part of this work is to understand that, even when D is a sufficiently smooth function, in practice, the minimization process of FD is nontrivial. From the chain rule, the gradient of F depends on the gradient ∇vdv. However, in practical applications, last gradient does not have a simple computation. Hence, to achieve our goal is key to compute ∇vF without the knowledge of ∇vdv. We do this under certain conditions, general enough, to allow us to work even with discrepancies that do not come from metrics in Rm. In particular, among the applications we do, there is the computation of the gradient of an objective function that derives from a discrepancy function that uses the unbalanced optimal transportation, UOT.