El problema de equilibrio de Nash generalizado

Abstract

Los equilibrios de Nash constituyen un modelo matemático que desde su creación en los años 50 ha encontrado múltiples aplicaciones en varias áreas del conocimiento. La idea intuitiva de equilibrio es la siguiente. Varios agentes o jugadores interactúan entre sí intentando maximizar sus beneficios mediante el uso de una estrategia. Los beneficios de cada agente dependen de su estrategia propia y de las de sus rivales. En todo momento los jugadores conocen las estrategias de sus contrincantes y, sobre la base de ello, cada agente escoge aquella estrategia que le reporte los mayores beneficios. Se habrá alcanzado un equilibrio cuando cada jugador emplee precisamente aquella estrategia que le proporcione más beneficios. El Problema de Equilibrio de Nash Generalizado (GNEP) formaliza matemáticamente esto que acabamos de describir. A manera de ejemplo, podemos pensar en varios bancos que compiten entre sí en un determinado país. Alcanzar el equilibrio no es fácil. En este sentido, las reformulaciones del GNEP son útiles porque permiten analizar el problema desde nuevas perspectivas, utilizando herramientas de otras áreas de la matemática. Ahora bien, la teoría de las desigualdades variacionales está muy desarrollada, tanto teórica como algorítmicamente (véase [13]). Igualmente, los problemas de optimización (maximización o minimización de funciones) han sido estudiados exhaustivamente, ya desde la época de Newton, y por ello también existe una teoría muy desarrollada al respecto (véase [18]). De manera que las reformulaciones del GNEP como problemas de optimización y como problemas de desigualdad variacional son especial- mente importantes. En esta tesis estudiamos el GNEP y presentamos varias reformulaciones del GNEP como problemas de optimización y como problemas de desigualdad variacional. Las herramientas básicas para obtener las reformulaciones como problemas de optimización serán la función de Nikaido - Isoda y su regularización, mientras que para obtener las reformulaciones como problemas de desigualdad variacional utilizaremos las nociones clásicas de gradientes y subdiferenciales, y la recientemente introducida noción de subniveles ajustados y sus operadores normales (véase [4]).