Estudio e implementación del modelo de Heston y su extensión al incorporar correlación estocástica

Abstract

El desplome del mercado de valores de octubre de 1987 fue un evento que sacudió a los Mercados financieros de todo el mundo e impactó en los modelos matemáticos dedicados a preciar opciones. La presencia de sonrisas y sesgos en la superficie de volatilidad implícita que resultó a partir de dicho desplome puso en tela de juicio la capacidad del modelo de Black-Scholes para proporcionar precios adecuados en un nuevo régimen de sesgos de volatilidad, y sirvió para resaltar los supuestos restrictivos que subyacen en dicho modelo. Uno de estos es que los retornos continuamente compuestos de las acciones se distribuyen normalmente con una volatilidad constante, pero los Log-retornos muestran asimetría y curtosis (colas gruesas) que la normalidad no puede explicar, y diversos estudios muestran que la volatilidad no es constante en el tiempo. Un enfoque de extensión al modelo de Black-Scholes es permitir que la volatilidad varíe en el tiempo impulsada por su propio proceso estocástico (Modelos de volatilidad estocástica). El modelo de Heston, modela a la volatilidad como un proceso Ornstein Uhlenbeck (OU); además dicho proceso está correlacionado (correlación constante) con el proceso de precios. La popularidad del modelo de Heston se debe a que el precio de la Call europea, está disponible en forma cerrada, hasta una integral que debe evaluarse numéricamente. Una razón por la cual el modelo de Heston es tan importante es que es el primero en explotar funciones características en la fijación de precios de opciones, al reconocer que la densidad de precios al vencimiento (ST) no necesita ser conocida, solo su función característica. Esta línea de razonamiento crucial fue el inicio de un nuevo enfoque para la preciación de opciones, conocido como precios por funciones características (Ver [6, Zhu]). Si bien el modelo de Heston no fue el primer modelo de volatilidad estocástica que se introdujo, se ha convertido en el más importante y ahora sirve como punto de referencia con el que se comparan otros modelos de volatilidad estocástica. En el presente trabajo se estudia e implementa en Python, además del modelo de Heston (clásico), una novedosa extensión al modelo propuesta en [40, Teng, Ehrhardt, and Günther]. La novedad yace en que la correlación es variable en el tiempo, impulsada por su propio proceso estocástico (Ornstein-Uhlenbeck). En síntesis, los objetivos de este trabajo son: 1.Primero, hacer un estudio detallado del Modelo clásico de Heston y sus esquemas de simulación 2. Dar una exposición detallada del modelo de Heston extendido al incorporar correlación estocástica propuesta en [40]. 3. Verificación numérica de la calidad de los esquemas estudiados utilizando el lenguaje de programación Python.