Fenómenos No Lineales: la transformación de Bäcklund y las integrales de Henon de la red de Toda

Abstract

En el Cap. I se presenta una introducción a los fenómenos no- lineales, empezando con una simple generalización de la ecuación de la cuerda, siguiendo (Cap. II) con el estudio de tres ecuaciones diferenciales importantes (las ecuaciones de Korteweg-de Vries, Sine-Gordon y de Toda). También presentamos soluciones numéricas de cada ecuación. En los siguientes capítulos estudiamos la Red de Toda. Se presenta una transformación canónica, que proporciona una relación entre dos soluciones de la Red Exponencial. Usando esta relación, puede hallarse una nueva solución a partir de una solución conocida. Esta transformación es así una versión discreta de la transformación de Backlund. Una aplicación recursiva de dicha transformación da una relación algebraica y recursiva para las soluciones. Usando la relación recursiva se obtiene una solución 2- solitón (Cap. III). Además, se presenta un método para obtener una solución de tipo N-solitón (Cap. IV). En el capítulo V se obtienen las teyes de conservación del sistema a partir de las Transformaciones de Backlund, asumiendo las condiciones de contorno: Qn ------ > const. cuando |n|----> +∞. Por otra parte, se presenta un conjunto de n integrales explícitas para una red de n partículas con condiciones de contorno periódicas, éstas son conocidas como las integrales de Hénon. (Cap. VI). En la última parte (Cap. VII), usando las integrales de Hénon mostramos que el potencial de Toda, asumiendo que las partículas interactúan solamente con sus vecinas más próximas, es el único que permite que el sistema sea integrable.

An introduction to nonlinear phenomena, starting with a simple generalization of the string wave equation is presented; following by a review of three remarkable nonlinear wave equations (Korteweg-de Vries, Sine-Gordon and Toda equations). in Chapters I and II we present the numerical solution for each equation. The following Chapters are devoted to the Toda Lattice. A canonical transformation is presented, which gives the relation between two solutions of an exponential lattice. Using this relation, a new solution can be obtained from a known solution. it is thus a discrete version of the Backlund transformation. Recursive application of the transformation provides an algebraic recursion formula for the solution. Using the recursion formula, two soliton solution is obtained (Chapter III); moreover, a method of approach to obtain N-soliton solutions is also presented (Chapter IV). Chapter V shows the conservation laws from Backlund transformation, assuming the boundary condition Qn ------ > const. as |n|----> +∞. An explicit set of n integrals is given for a lattice of n particles with periodic boundary conditions, these are known as Henon's type integrals (Chapter VI). in the last part (Chapter VII), using integrals of Hénon's type, it is shown that the Toda's potential is the only possible one to make the system integrable, provided the assumption of the nearest nelghbour interaction.