Modelo de Yukawa en la teoría de perturbación causal

Abstract

El modelo de Yukawa nació en el estudio fenomenológico de las interacciones nucleares, y su presencia en la física de las partículas ha persistido hasta los días actuales en el modelamiento de la interacción del campo de Higgs con los fermionicos. Dicho modelo, aunque simple, exhibe las denominadas divergencias ultravioletas, uno de los problemas a los que se enfrenta la teoría del campo cuantificado convencional, requiriendo el uso de técnicas de regularización para la obtención de cantidades físicas finitas. Una formulación alternativa de la teoría del campo cuantificado es la teoría de perturbación causal (TPC), la cual utiliza al axioma de la causalidad, referido al operador de dispersión, para establecer un procedimiento inductivo para la construcción perturbativa de sus términos. Teniendo en cuenta, además, al carácter distribucional de los operadores de campo cuantificado, la TPC evita el aparecimiento de las divergencias ultravioletas, de modo que ningún procedimiento de regularización se utiliza en la obtención de resultados finitos. En esta tesis, realizamos un estudio del modelo neutro de Yukawa mediante las técnicas de la TPC. Comenzamos introduciendo detalladamente los operadores de campo cuantificado libres como distribuciones operador-valuadas que actúan sobre el espacio de Fock, explicitando el importante papel que en tal definición tienen las soluciones al problema de Cauchy en la teoría del campo clásico. Pasamos entonces a definir el sistema axiomático de Bogoliubov, Medvedev y Polivanov para la construcción del operador de dispersión, y a examinar sus consecuencias en la teoría perturbativa. A continuación, construimos de forma intuitiva el procedimiento inductivo de la TPC, detallando las razones de las definiciones vertidas para la distribución retardada y para la avanzada, así como estableciendo el método de división de la distribución causal en estas dos partes. Mostramos que el método inductivo de la TPC es compatible con el axioma de unitaridad del operador de dispersión y probamos un teorema de factorización de polinomios en la distribución causal que facilita la aplicación práctica del método. A continuación, repasamos él desarrollo histórico del modelo fenomenológico dé Yukawa y establecemos la distribución de transición del primer orden para el modelo neutro, con el cual construimos, por el procedimiento inductivo, la distribución causal del segundo orden. De entre los diversos términos en los que esta se descompone por virtud del teorema de Wick, estudiamos primeramente aquellos que corresponden a las correcciones radiactivas, a saber, la auto-energía del mesón y la del nucleón, cuyos cálculos son detalladamente realizados y cuyas expresiones explícitas en los diversos intervalos de variación del impulso son obtenidos. Tales distribuciones no son, empero, unívocamente definidas por el axioma de la causalidad, sino que requieren para su fijación completa la imposición de condiciones físicas adiciónales, que en el caso en cuestión son el valor físico de las masas de las partículas correspondientes y el de la constante de acoplamiento de su interacción mutua. Semejantes imposiciones son hechas sobre los propagadores completos de los campos. Mostramos, no embargante, que las condiciones relativas al valor físico de las masas de las partículas involucradas pueden ser substituidas por las condiciones de estabilidad de los sectores de una partícula del espacio de Fock al segundo orden, o sease, por la condición de que el operador de dispersión deje invariantes los estados de una partícula. Estudiamos también la condición de estabilidad del estado del vacío al segundo orden, mostrando que puede ser alcanzado con una elección determinada de los términos de normalización permitidos. Para concluir, realizamos un estudio de la normalizabilidad de los modelos de interacción generales entre campos bosónicos de espín nulo y fermionicos de Dirac, probando que el modelo de Yukawa es el único que es normalizable en cuatro dimensiones.

Yakawa’s model born in the phenomenological study of nuclear interactions, and its presence in particle physics has persisted until now in the modelling of the interaction between Higgs’s field with the fermion ones. That model, although simple, exhibits the so-called ultra-violet divergences, one of the problems with which the standard formulation of quantum field theory must deal, and for which regularization techniques have been developed in order to obtain finite physical quantities. An alternative formulation of quantum field theory is causal perturbation theory (CPT), that uses the axiom of causality, referred to the scattering operator, to establish an inductive process for the construction of its perturbation terms. Considering, ad- ditionally, the distributional character of the quantized field operators, CPT avoid the appearance of ultra-violet divergences, so that no regularization techniques are requi- red to obtain finite quantities. In this thesis, we study the neutral Yukawa’s model through the CPT techniques. We start by introducing in detail the free quantized field operators as operator-valued distributions acting on Fock’s space, making explicit the important role that the solu- tions to classical Cauchy’s problem have for that definition. We then define the axio- matic system of Bogoliubov, Medvedev and Polivanov for the construction of the scat-tering operator, and examine its consequences for the perturbation regime. Next, we construct in an intuitive manner the inductive procedure of CPT, explaining the de- finition of the retarded distribution and that of the advanced one, and the division of the causal distribution in these two parts. We show that the CPT inductive procedure is compatible with the unitarity axiom for the scattering operator and prove a theo- rem about factorization of polynomials in the causal distribution which simplifies the practical application of the method. We then review the historical development of the phenomenological Yukawa’s mo-del and establish the transition distribution of first order for the neutral model, with which we construct, through the inductive procedure, the causal distribution of second order. Among the different terms in which it decomposes by virtue of Wick’s theo- rem, we firstly study those corresponding to the radiative corrections, id est, meson’s and nucleon’s self-energies, whose calculation is exposed in detail and whose explicit expressions are obtained in the different intervals of momentum variation. However, those distributions are not uniquely determined by the causality axiom, but require for its complete definition the imposition of other physical conditions: the physical values of the masses of the corresponding particles and the value of the coupling constant of their mutual interaction. These conditions are imposed on the complete field propagators. We show, nonetheless, that the condition on the physical value of the particles’ masses can be replaced by the condition of stability of the one-particle sector of Fock’s space at second order, this is to say, by the condition that the scattering operator leaves invariant the one-particle states. We also study the stability of the vacuum state at se-cond order, showing that it can be reached with an adequate choice of the normalization terms. To finish, we study the normalizability of the general models of interaction between spinless bosons and Dirac’s fermions, to conclude that Yukawa’s model is the only one which is normalizable in four dimensions.