Procedimientos de gradiente conjugada en el análisis estructural

Abstract

1. En los procedimientos de análisis basados en rigideces, que son los más utilizados en programas de cómputo, la mayor parte del esfuerzo de aritmética se consume en la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales: Ku = f …(1) (en el caso de un problema lineal y estático) o de ecuaciones diferenciales (por un problema no estacionario). La solución de las ecuaciones diferenciales tiene también relación con la solución de ecuaciones algebraicas. Al tratarse problemas no lineales e[ esfuerzo de cómputo para resolver las ecuaciones es proporcionalmente mayor. En todos los casos, el costo total del análisis se ve significativamente afectado por las técnicas empleadas en la solución de las ecuaciones de equilibrio. En un análisis estático lineal, el tiempo para la solución de las ecuaciones de equilibrio, demanda un alto porcentaje de tiempo de cómputo. En un análisis dinámico o en un análisis no lineal, el esfuerzo de cómputo para resolver las ecuaciones es aún más importante. Por consiguiente, sí se seleccionan técnicas inapropiadas para la solución de las ecuaciones de equilibrio, el costo total del análisis se ve significativamente afectado, 2. El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos para resolver el problema matricial (1). Se ejecutan a través de un número finito de pasos y generan una solución x que sería exacta si no fuera por los errores que resultan de la aritmética imperfecta del computador. En contraste, un método iterativo da lugar a una sucesión de vectores que, idealmente, converge a la solución. En general, para obtener la sucesión mencionada se utiliza repetidamente un proceso sencillo. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión, especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. 3- El análisis lineal, elástico y estático de estructuras aporticadas es poco demandante en términos relativos a las posibilidades de cómputo con las herramientas actualmente disponibles. Sin embargo, hay un creciente interés en el análisis no lineal que, con las técnicas más utilizadas, demanda muchísimas más operaciones aritméticas que un análisis lineal con un modelo de similares características. Además, se observa un uso más frecuente de técnicas de elementos finitos para el análisis de medios continuos, con modelos de miles o decenas de miles de grados de libertad, con una tendencia a utilizar modelos más refinados, "adaptivos" que requieren la sucesiva solución de muchos grandes sistemas de ecuaciones. En este contexto, es de mucho interés el hacer más eficiente la solución de las ecuaciones. 4. Para sistemas lineales grandes, con miles de ecuaciones, los métodos iterativos pueden tener ventajas decisivas respecto de los métodos directos, en cuanto a la velocidad y requerimientos de la memoria de la computadora, ya que una proporción muy grande de los elementos de la matriz de rigidez son cero. En ocasiones, si los requerimientos sobre la precisión no son muy fuertes, bastará con un número modesto de iteraciones para obtener una solución aceptable. Para sistemas en los cuales una proporción muy grande de los elementos de K son cero, los métodos iterativos son con frecuencia muy eficientes. Otra ventaja de los métodos iterativos es que usualmente son estables y de hecho amortiguan los errores numéricos conforme el proceso se lleva a cabo. En esta tesis se tratarán sobre dos situaciones de análisis, la primera se refiere al análisis lineal y elástico (capítulo III), en el que se supone que las deformaciones y los esfuerzos son proporcionales a las cargas aplicadas. La segunda; supone el comportamiento no lineal (capítulo IV), usando a modo de ejemplo un modelo elástico-plástico para representar las relaciones existentes entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias.