El teorema de la Ω-Estabilidad

Abstract

El objetivo de estas notas es dar la prueba del teorema de la Ω estabilidad, para un difeomorfismo ƒ definido en una variedad compacta M de dimensión finita. Se considera por eso el conjunto de los puntos no errantes de ƒ denotado por Ω (ƒ) que es cerrado e invariante bajo ƒ y también los difeomorfismos g que son Ω conjugados a /, es decir existe un homeomorfismo h: Ω (ƒ) —>Ω (g), muy cercano de la identidad, que cumple h o f = g o h. Como es usual se dice que ƒ es Ω estable si existe una vecindad Vƒ de /, en la Cr-topología, 0 < r < oo de DiffT(M), de modo que cada g € Vƒ es Ω conjugado a f. Lo que establece el teorema de la Ω estabilidad son condiciones suficientes para que un difeomorfismo sea Ω estable. La primera condición es que los puntos periódicos de ƒ sean densos en Ω(ƒ) y que además Ω(ƒ) tenga una estructura hiperbólica. Esto no es otra cosa que conseguir una descomposición de TΩM en dos subfibrádos Es y Eu que son invariantes bajo la derivada Df: TΩM —>• TΩM y para los cuales existen dos constantes c>0y0<λ<ltal que ||Dƒ |E||| < cλ y ||Dƒ-1|Eu|| < cλ para todo x € Ω. Estas condiciones se acostumbran resumir diciendo que / cumple el Axioma A, o lo que es lo mismo que su conjunto Ω(ƒ) es hiperbólico y sus puntos periódicos son densos. Cuando / cumple el Axioma A. El teorema de la descomposición espectral establece que Ω(ƒ) se puede descomponer en una unión finita de conjuntos básicos Ω(ƒ) = Λ1U... U Λm donde cada Λα es cerrado, invariante bajo ƒ y existe x € Λα de modo que el conjunto {fk(x)}k€Z es denso en Λα. Para dar la segunda condición del teorema de la Ω estabilidad se acostumbra definir entre los conjuntos básicos dados por la descomposición espectral la relación Λα >> Λβ que significa que (Wu(Λβ)- Λβ)n(Ws(Λα)- Λα) ≠ 0 donde WS(Λα) = {y € M : d((Λα), fn(y)) —> 0 cuando n —>+oo} y Wu(Λβ) = {y € M : d{ Λβ,fn{y)) —> 0 cuando n —> —oo} y se dice que los conjuntos básicos tienen un ciclo cuando existen α1, α2,…., αr tales que Λαl >> Λα2 >> ... >> Λαr = Λαl. Con esto el Teorema de la Ω estabilidad afirma que ƒ es Ω estable siempre que cumpla el Axioma A y su descomposición espectral no tenga ciclos.