Análisis de algoritmos para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz no singular y una aplicación a un método en diferencia irracional

Abstract

En este trabajo se desarrolla el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz no singular y se comparan con algunos algoritmos, realizando previamente algunas evaluaciones de estabilidad y rendimiento computacional. Entre los algoritmos estudiados, se muestran algunos ejemplos y se realizan comparaciones con el método de Newton, método de Newton modificado 1 y 2, Denman Beavers modificado, Pade´ y Pade´ a escala, que muestran buenos resultados a pesar del mal condicionamiento de algunas matrices. Luego, se explora un método en diferencia irracional llamado RT-ω, estudiando previamente su estabilidad y su convergencia. A continuación, se resuelven ecuaciones diferenciales rígidas oscilatorias y altamente oscilatorias con el método irracional RT-ω, contrastándolo con la solución exacta, el cual tuvo muy buenos resultados, a diferencia de los métodos Runge Kutta-4 explícito, Euler explícito y Runge Kutta-4 implícito con diversos tamaños de mallas, verificando que, de acuerdo con el problema y tipo de rigidez presentada, el método RT-ω fue más estable y su convergencia fue más rápida que los otros métodos. Como conclusiones de este trabajo pudimos verificar que el método estudiado RT-ω, con ω = 2 es muy eficiente para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales rígidas altamente oscilatorias, ya que ofrece una mejora significativa en la estabilidad numérica.

In this work, the calculation of the square root of the non-singular matriz is developed and compared with some algorithms, after performing some stability and computational performance evaluations. Among the algorithms studied, some examples are shown, and comparisons are made with Newton’s method, modified Newton method 1 and 2, modified Denman Beavers, Pade and scaled Pade, which show good results despite the bad conditioning of some matrices. Then, an irrational difference method called RT-ω is explored, previously studying its stability and convergence. Next, rigid oscillatory and highly oscillatory differential equations are solved with the irrational RT-ω method, contrasting it with the exact solution, which had very good results, unlike the explicit Runge Kutta-4, explicit Euler and implicit Runge Kutta-4 methods with various mesh sizes, verifying that, according to the problem and type of rigidity presented, the RT-ω method was more stable and its convergence was faster than the other methods. As conclusions of this work, we were able to verify that the studied RT-ω method, with ω = 2 is very efficient to ap- proximate the solution of highly oscillatory rigid differential equations since it offers a significant improvement in numerical stability.