Ecuaciones e inecuaciones variacionales parabólicas y su resolución numérica mediante elementos finitos

Abstract

Diferentes problemas físicos de transferencia de calor que se dan por conducción, radiación y convección están representados por ecuaciones en derivadas parciales sujetas a condiciones iniciales y de contorno. El interés en este trabajo es el estudio del proceso de transferencia de calor por conducción y su control térmico sobre materiales isótropos que están representadas por ecuaciones en derivadas parciales de tipo parabólico. De la formulación encontrada para estos problemas 7, 8 se han encontrado resultados de existencia y unicidad de solución clásica pero que no conducen netamente a la obtención de una solución explícita. En el presente trabajo el objetivo es hacer un estudio numérico de estos problemas a fin de contribuir con la determinación de una solución explícita. Para ello se realiza el siguiente procedimiento: formulación variacional del problema de contorno y de valor inicial de frontera fija como una ecuación variacional parabólica (EVP) y la formulación variacional del problema de contorno y de valor inicial de frontera móvil como una inecuación variacional parabólica (IVP). Luego, se realiza el análisis cualitativo, es decir, demostrar la existencia y unicidad de la solución débil para ambos problemas. Posteriormente, procedemos a construir un esquema numérico para estimar cuantitativamente las soluciones aproximadas que representan a la distribución de la temperatura y el control térmico bajo las condiciones de convergencia numérica. El esquema numérico está conformado por el método de Galerkin continuo, Elementos Finitos, Crank-Nicholson sobre un conjunto acotado contenido en un espacio bidimensional para la EVP y Método de Galerkin continuo, Elementos Finitos, Euler Implícito, aproximación lagrangiana y el método de Uzawa para la IVP. Esta metodología se puede utilizar para realizar la simulación numérica del comportamiento de la transferencia de calor por conducción y el control térmico sobre diversos materiales tales como los que se ha supuesto para la experimentación numérica en este trabajo cuya propiedad de conductividad térmica son semejantes a la de un tipo de aluminio y de vidrio.