Indices de singularidades de foliaciones holomorfas sobre superficies complejas

Abstract

En el presente trabajo desarrollamos la teoría de índices sobre foliaciones y sus relaciones. Un importante resultado es el siguiente teorema: Teorema. Sea v un campo vectorial holomorfo en una vecindad de 0 E C2, tal que 0 es cero aislado de v, y supongamos que v es una curva generalizada no dicrítica. Sea S la unión de todas las separatrices de v en p. Entonces: BB(v, 0) = CS(v,S, 0) GSV(v,S, 0) = 0 Nuestra atención está centrada en las singularidades de la foliación, pues el teorema de la vecindad tubular nos da una descripción local de las hojas alrededor de los puntos regulares. Una de las diferencias más importantes entre la dinámica compleja y la real, es que si tenemos una foliación compleja y una singularidad fijada, siempre pasa una curva analítica invariante a través de la singularidad, la cual es llamada separatriz (Teorema de Camacho Sad), pero la existencia de esta curva no se da necesariamente en el caso real, como lo podemos apreciar en la foliación inducida por la 1-forma diferenciable 2xdx + 2ydy, vemos que el caso real las hojas son círculos de radio r > 0, r E R y no existe una separatriz en el origen. Como sabemos desde nuestro curso de ecuaciones diferenciales ordinarias, describir el comportamiento de las orbitas (ello determina una foliación) en una vecindad de la singularidad es complicada dependiendo de la forma dada, es así que se busca un nuevo ambiente donde el estudio sea más fácil, esto se consigue abriendo las direcciones mediante explosiones en un punto la cual hace que reemplacemos una variedad por otra y que podamos ir de una hacia la otra. Veremos que con un número finito de tales explosiones las singularidades de las formas inducidas son más fáciles de trabajar. Este trabajo posee 6 capítulos, las cuales pasamos a describir. En el Capítulo 1, presentamos los preliminares como son Fibrados Vectoriales y sus propiedades, divisores, comohología, clases de Chern, y foliaciones homolomofas de dimensión 1. En el Capítulo 2, estudiamos la teoría de los residuos, la cual es una generalización del caso unidimensional que se desarrolla en el curso de una variable compleja, es decir se expresa como una integral de una forma u definida sobre una curva, también tenemos el teorema de Cauchy para varias variables, donde se define una forma uBM, llamada la forma de Bochner-Martinelli.

En el Capítulo 3, pasamos del análisis complejo al algebra definiendo el índice de Milnor, el cual está relacionado con el índice topológico. Aquí se establece el teorema de parametrización de Puiseux, que junto a un teorema debido a Milnor, nos dice que el germen de una curva analítica irreducible plana en el origen intercepta transversalmente a una esfera, centrada en el origen de C2 y de radio suficientemente pequeño, y la curva intercepción obtenida es difeomorfa a un círculo; este resultado será importante pues utilizaremos las componentes irreducibles de la separatriz para definir índices por medio de residuos y que serán expresadas como integrales sobre estas curvas de ciertas formas. Definimos el número de intersección entre divisores lineales, la cual es una generalización de la teoría de intersección, visto en topología diferencial. Por ultimo definimos la explosión en un punto para calcular la auto intersección del divisor excepcional. En el Capítulo 4, definimos el índice de Baum-Bott (BB), y demostramos el célebre teorema de Baum-Bott que nos dice que la auto intersección del fibrado normal de la foliación coincide con suma de los índices de Baum-Bott. En el Capítulo 5, definimos el índice de Camacho Sad (CS(F, S,p)) en una singularidad de la foliación F y de la separatriz que pasa por p. Luego probamos que este índice coincide con la auto intersección de la curva S, es decir CS (F, S) = S.S, finalmente damos algunos ejemplos de foliaciones para los cuales calculamos su índice de Camacho-Sad. En el Capítulo 6, volvemos a ver la explosión de un punto, pero ahora sobre una superficie compleja arbitraria M. Así tenemos una nueva variedad compleja la cual denotamos por M y luego inducimos en M una foliación n*F y definimos la explosión dicritica y no dicrítica. Luego, probaremos el teorema de Seindenberg, el cual nos dice que luego de un número finito de explosiones obtenemos solo singularidades reducidas.