Productos cruzados de Hopf y sus homologías de Hochschild

Abstract

En la actualidad, el álgebra homológica es un área productiva de investigación en matemática. En esta tesis se estudia el producto cruzado introducido por Doi-Takeuchi y Blattner-Cohen-Montgomery en [4] y [3]. Caracterizamos el producto cruzado de Hopf como un módulo con multiplicación que depende de una acción débil y una aplicación bilineal, la cual es normal. Además, tanto la aplicación bilineal como la acción débil satisfacen las condiciones de cociclo y módulo torcido. En el caso en que el cociclo del producto cruzado sea invertible, se caracteriza como una extensión de Galois Hopf con propiedad de base normal y también como una extensión cleft derecha. Determinamos que las homologías de Hochschild de un producto cruzado son los funtores derivados relativos izquierdos de un funtor covariante aditivo. Principalmente calculamos la homología de Hochschild del producto cruzado del algebra K[X] cocientado por el ideal generado por Xt − a, con el grupo cíclico Ct, para t mayor o igual a 2 bajo ciertas condiciones sobre K y sobre el 2−cociclo f.

Nowadays, homological algebra is a productive area of research in mathematics. In this thesis, we study the crossed product introduced by Doi-Takeuchi and Blattner-Cohen-Montgomery in [4] and [3]. We characterize the Hopf crossed product as a module with multiplication that depends on a weak action and a bilinear mapping, which is normal. Furt-hermore, both the bilinear map and the weak action satisfy the conditions of cocycle and twisted module. In the case where the cocycle of the crossed product is invertible, it is cha-racterized as a Hopf Galois extension with normal basis property and also as a right cleft extension. We determine that the Hochschild homologies of a crossed product are the left relative deri-ved functors of an additive covariant functor. We mainly compute the Hochschild homology of the crossed product of the algebra K[X] modulo the ideal generated by Xt − a, with the cyclic group Ct, for t greater than or equal to 2 under certain conditions on K and on the 2−cocycle f.