Un estudio sobre funciones pseudoconvexas

Abstract

Es un hecho bien conocido la definición de función convexa se da sólo en base al concepto de espacio vectorial real y el ordenamiento de la recta real, Sin embargo, muchas propiedades importantes de las funciones convexas tienen carácter topológico. Un claro ejemplo es la propiedad de que todo mínimo local de una función tal es también mínimo global. Esta propiedad juega un papel imperante en optimización ya que permite hallar mínimos globales de funciones convexas utilizando métodos iterativos de direcciones de descenso, lamentablemente, en práctica exigir la condición de convexidad es muy restrictivo, por lo que años atrás muchos investigadores volcaron su esfuerzo en el estudio de una clase más grande de funciones, conocidas como funciones cuasiconvexas. Aunque estas comparten con las funciones convexas su origen algebraico, poseen una gran carencia, no todo mínimo local es un mínimo global para funciones cuasiconvexas. Para salvar este inconveniente se introdujeron conceptos de pseudoconvexidad para funciones que dependen de nociones topológicas. Inicialmente se introduce el concepto de pseudoconvexidad (ver 25) bajo hipótesis de diferenciabilidad; más adelante esta condición sería reemplazada por la subdiferenciabilidad (ver 18). En ninguno de estos casos se conserva el carácter principal de las funciones convexas y cuasiconvexas, esto es su naturaleza algebraica. Motivados por esto en la búsqueda de una uniformidad introducimos un nuevo concepto de función pseudoconvexa, el cual despende únicamente de conceptos algebraicos. Las funciones pseudoconvexas, además de ser cuasiconvexas tienen la propiedad particular de que todo mínimo local es un mínimo global; estas funciones de algún modo ya están presentes en la literatura (ver [3], (16), [23]): decimos que de algún modo porque las definiciones que se dan sólo coinciden con nuestra definición asumiendo condiciones de semicontinuidad inferior. En este trabajo establecemos varias propiedades de las funciones pseudoconvexas, a la vez recogiendo lo ya existente en la literatura, hacemos esto concentrando nuestro interés en las relaciones existentes entre este tipo de generalización de la convexidad y cierto tipo de monotonicidad de ciertas multifunciones asociadas a ellas. Describiremos brevemente como está organizado el trabajo. Las primeras cuatro secciones del primer capítulo sirven para repasar algunos hechos básicos del algebra lineal, topología y del análisis funcional; introduciendo en la sección 4 los conceptos de gradiente en espacios de Banach y de mono tonicidad generalizada para operadores. La sección 5 está dedicada al estudio de multifunciones, en particular la semicontinuidad de multifunciones, y las multifunciones KKM, estrechamente ligadas al lema de Ky Fan [31], una herramienta fundamental en los resultados de existencia de soluciones en los problemas de equilibrio y de desigualdad variacional; y al final de la sección introducimos las nociones de monotonicidad generalizada para multifunciones. En la sección 6, se establecen varios resultados del análisis convexo clásico, referentes a funciones convexas, conos tangentes y conos normales; luego se hace un estudio de las funciones cuasiconvexas. En la sección 7 se estudian las derivadas generalizadas en el sentido de Clarke (ver [12]) y establecen dos teoremas principales, el teorema de valor medio de Lebourg y el teorema, de valor medio aproximado de Zagrodny; veremos en la sección 8, y posteriormente en el capitulo 3, que son éstas herramientas fundamentales para establecer relaciones entre la convexidad generalizada de las funciones y la monotonicidad generalizada de los subdiferenciales. El capítulo 2 está dedicado al estudio de las funciones pseudoconvexas. En la primera sección se introduce el concepto de función pseudoconvexa y se establecen algunas características de tales funciones En la sección 2, se estudian las propiedades algebraicas de las funciones pseudoconvexas y en la sección 3 se establecen resultados relativas a máximos y mínimos. La sección 4 trata hechos concernientes a continuidad y diferenciabilidad. Más adelante, en la sección 5, caracterizamos las funciones pseudoconvexas mediante las propiedades de sus subdiferenciales y en la sección 6 por medio de las propiedades de la multifunción normal, la cual es definida en base a los conos normales a sus subconjuntos de nivel de la función en estudio. En el capitulo 3, primero estudiaremos el problema de equilibrio, bajo hipótesis de pseuconvexidad extendiendo resultados ya conocidos para hipótesis de convexidad.