Estudio numérico de la ecuación estacionaria del calor en una placa circular con diferentes dependencias de la conductividad térmica

Abstract

En este trabajo se resuelve numéricamente la ecuación del calor en estado estacionario para una placa circular, sin fuentes internas y con condición de contorno de Dirichlet. Se resuelve el problema para tres casos: conductividad térmica constante, conductividad térmica dependiente de la temperatura y conductividad térmica con dependencia radial. El primer caso considera una conductividad térmica constante, lo que reduce el problema a la ecuación de Laplace. Para este caso, se propone un método numérico que consiste en aplicar una expansión de Fourier y el método de diferencias finitas. Se realiza una comparación entre la solución analítica y numérica, validando así el método propuesto. El segundo caso considera una conductividad térmica dependiente de la temperatura, lo que resulta en una ecuación diferencial no lineal. Para este caso, se aplica una transformación de Kirchhoff a la ecuación, obteniendo una expresión conocida que permite aplicar el método numérico utilizado en el primer caso. El tercer caso considera una conductividad térmica con dependencia radial, lo que también modifica la ecuación diferencial. En este último caso, la placa circular se modela como la unión de diferentes materiales con conductividad térmica constante, para luego aplicar un método numérico similar al del primer caso.

In this work, the steady-state heat equation for a circular plate is solved numerically, considering non internal heat sources and Dirichlet boundary conditions. The problem is addressed for three cases: constant thermal conductivity, temperature-dependent thermal conductivity, and radially dependent thermal conductivity. The first case con- siders a constant thermal conductivity, which reduces the problem to Laplace’s equation. In this case, a numerical method is proposed which consists of applying a Fourier expansion and the finite difference method. A comparison between the analytical and numerical solutions is performed, thereby validating the proposed method. The second case considers temperature-dependent thermal conductivity, resulting in a nonlinear differential equation. In this case, a Kirchhoff transformation is applied to the equation, obtaining a known expression that allows applying the numerical method used in the first case. The third case considers a radially dependent thermal conductivity, which also modifies the differential equation. In this last case, the circular plate is modeled as the union of different materials with constant thermal conductivity, and a numerical method similar to the one used in the first case is then applied.